已知函数f(x)=2x3-3x2-mx+n(m,n∈R),若函数在点(0,f(0))处的切线方程为y=-12x,(1)求m,n的值;(2)求函数f(x)在区间[-a,a](a>0)上的最大值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x3-3x2-mx+n(m,n∈R),若函数在点(0,f(0))处的切线方程为y=-12x,(1)求m,n的值;(2)求函数f(x)在区间[-a,a](a>0)上的最大值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2x3-3x2-mx+n(m,n∈R),若函数在点(0,f(0))处的切线方程为y=-12x,
(1)求m,n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-a,a](a>0)上的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知,f′(x)=6x2-6x-m,(1分)
∵函数在点(0,f(0))处的切线方程为y=-12x,
f(0)=0
f′(0)=-2
,(2分)
n=0
-m=-12
,得
m=12
n=0
,(3分)
(2)由(1)知f(x)=2x3-3x2-12x,
f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),
由f'(x)>0,得x<-1或x>2,
由f'(x)<0,得-1<x<2,
∴f(x)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,(5分)
∴f(x)的极大值为f(-1)=7,
由f(a)=f(-1)=7,
得2a3-3a2-12a=7,2a3-3a2-12a-7=0,
∴(a+1)(2a2-5a-7)=0,∵a>0,
a=class="stub"7
2
,(7分)
结合f(x)的图象可得:
①当0<a≤1时,f(x)在区间[-a,a]上的最大值为f(-a)=-2a3-3a2+12a,
②当1<a<class="stub"7
2
时,f(x)在区间[-a,a]上的最大值为f(-1)=7,
③当a≥class="stub"7
2
时,f(x)在区间[-a,a]上的最大值为f(a)=2a3-3a2-12a.(10分)

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