首页 > 设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（I）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（III）若b=﹣1，证明

设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（I）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（III）若b=﹣1，证明

题目简介

设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（I）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（III）若b=﹣1，证明

题目详情

设函数f（x）=x2+bln（x+1）．
（I）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（III）若b=﹣1，证明对任意的正整数n，不等式成立．
题型：解答题难度：偏难来源：期末题

答案

解：（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞﹣1．
∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．
因为对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0．
 ，
∴2+ =0，解得b=﹣4．      
经检验，b=﹣4时，f（x）在（﹣1，1）上单调减，
在（1，+∞）上单调增． f（1）为最小值．故得证． 
（Ⅱ）∵ = ，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，则2x+ ≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
即b≥﹣2x2﹣2x=﹣2（x+ ）2+ 恒成立，由此得b ；
若f′（x）≤0，则2x+ ≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，
即b≤﹣2x2﹣2x=﹣2（x+ ）2+ 恒成立．
因 在（﹣1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f′（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[ ）．
（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．
令h（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），
则 =﹣ ．
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，
所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（0）=0，
∴当x∈[0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，
即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．
故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．
∵k∈N*，∴ ．
取 ，则有 ．
∴ ．所以结论成立．
 

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