设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最

题目简介

设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最

题目详情

设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)- g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(3)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:偏难来源:0112 模拟题

答案

解:(1)
所以,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-x+3;
(2)

由下表知,


所以满足条件的最大整数M=4;
(3)
等价于:在区间上,函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,
由(2)知,在区间上,g(x)的最大值为
下证当a≥1时,在区间上,函数f(x)≥1恒成立,
当a≥1且时,

时,
时,
所以,函数在区间上递减,在区间上递增,,即h(x)≥1, 所以,当a≥1且时,f(x)≥1成立,
即对任意,都有f(s)≥g(t)。

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