设函数,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为﹣2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间[﹣1,3]上是单调递减函数,求a2+b2的最

题目简介

设函数,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为﹣2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间[﹣1,3]上是单调递减函数,求a2+b2的最

题目详情

设函数,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).
(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为﹣2和4,求f(x)的表达式;
(2)若g(x)在区间[﹣1,3]上是单调递减函数,求a2+b2的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:月考题

答案

解:(1)根据导数的几何意义知f(x)=g'(x)=x2+ax﹣b
由已知﹣2、4是方程x2+ax﹣b=0的两个实数
由韦达定理,
f(x)=x2﹣2x﹣8
(2)g(x)在区间[﹣1,3]上是单调减函数,
所以在[﹣1,3]区间上恒有f(x)=g'(x)=x2+ax﹣b≤0,
即f(x)=x2+ax﹣b≤0在[﹣1,3]恒成立
这只需满足即可,也即
而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方,
其中点(﹣2,3)距离原点最近,所以当时,a2+b2有最小值13.

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