如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,-高三数学
题目简介
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,-高三数学
题目详情
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示为θ的函数;
(ii)设PO=x(km),将y表示成x的函数。
(2)请你选用(1)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短。
答案
由题设可知
AO=BO,PO=10-OQ
在Rt△AQO中,
所以
又易知
故y用θ表示的函数为
则
显然0≤x≤10,所以y用x表示的函数为
(2)选用(1)中的函数关系
来确定符合要求的污水处理厂的位置
因为
所以
由y'=0得
因
当
当
所以函数y在
当
因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为