已知函数f(x)=lnx+x2+ax.(I)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数;(II)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=lnx+x2+ax.(I)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数;(II)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=lnx+x2+ax.
(I)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数;
(II)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)当a=-4时,令g(x)=f(x)+x2=lnx+2x2-4x,
只要求出g(x)在区间(1,+∞)上的零点的个数即可,
由g′(x)=class="stub"1
x
+4x-4=
(2x-1)2
x
在(1,+∞)上恒大于0可知,
g(x)在区间(1,+∞)上是单调递增的函数,
又由g(1)=-2<0,g(2)=ln2>0,
故g(x)在区间(1,+∞)上恰有1个零点;
(II)由题意可得g′(x)=class="stub"1
x
+2x+a=
2x2+ax+1
x

在(0,+∞)上恰有两个互不相等的零点即可,
只需对分子上的二次函数有
-class="stub"a
2
>0
△=a2-8>0
,解得a<-2
2

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