已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).
(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=x2-4x-6lnx,f'(x)=2x-4-class="stub"6
x
=
2(x+1)(x-3)
x
,(2分)
由f'(x)>0得(x+1)(x-3)>0,
解得x>3或x<-1.
注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞).
由f'(x)<0得(x+1)(x-3)<0,
解得-1<x<3,
注意到x>0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,3).
综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(0,3).(6分)
(2)当x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,
所以f'(x)=2x-4+class="stub"2-a
x
=
2x2-4x+2-a
x

设g(x)=2x2-4x+2-a.
①当a≤0时,有△=16-4×2(2-a)=8a≤0
所以f'(x)≥0,f(x)在[e,e2]上单调递增.
所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a(8分)
②当a>0时,△=16-4×2(2-a)=8a>0,
令f'(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+
2a
2
或x<1-
2a
2
(舍);
令f'(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1-
2a
2
<x<1+
2a
2

10若1+
2a
2
e2
,即a≥2(e2-1)2时,f(x)在区间[e,e2]单调递减,
所以f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a.
20若e<1+
2a
2
e2
,即2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,f(x)在区间[e,1+
2a
2
]
上单调递减,
在区间[1+
2a
2
e2]
上单调递增,所以f(x)min=f(1+
2a
2
)=class="stub"a
2
-
2a
-3+(2-a)ln(1+
2a
2
)

30若1+
2a
2
≤e,即0<a≤2(e-1)2时,f(x)在区间[e,e2]单调递增,
所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.(14分)
综上所述,
当a≥2(e2-1)2时,f(x)min=e4-4e2+4-2a;
当2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,f(x)min=class="stub"a
2
-
2a
-3+(2-a)ln(1+
2a
2
)

当a≤2(e-1)2时,f(x)min=e2-4e+2-a.(16分)

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