已知f(x)=ex+ax2-bx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(e+1)x-y-2=0,(I)求f(x)的解析式;(II)当x≥0时,若关于x的不等式f(x)≥52x2+(m-3)x+12恒

题目简介

已知f(x)=ex+ax2-bx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(e+1)x-y-2=0,(I)求f(x)的解析式;(II)当x≥0时,若关于x的不等式f(x)≥52x2+(m-3)x+12恒

题目详情

已知f(x)=ex+ax2-bx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(e+1)x-y-2=0,
(I)求f(x)的解析式;
(II)当x≥0时,若关于x的不等式f(x)≥
5
2
x2+(m-3)x+
1
2
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)f′(x)=ex+2ax-b,由已知,切线斜率为f′(1)=e+2a-b=e+1,①又点(1,f(1))在切线上,所以(e+1)-(e+a-b)-2=0,②
①②联立解得a=2,b=3,所以f(x)=ex+2x2-3x
(II)由(I)得:f(x)=ex+2x2-3x
从而f(x)≥class="stub"5
2
x2+(m-3)x+class="stub"1
2
等价于
ex
x
-class="stub"1
2
x-class="stub"1
2x
≥m
令g(x)=
ex
x
-class="stub"1
2
x-class="stub"1
2x
则g′(x)=
xex-ex
x2
-class="stub"1
2
+class="stub"1
2x2
=
(x-1)(2ex-x-1)
2x2

由于(2ex-x-1)′=2ex-1>0(x≥0)所以(2ex-x-1)min=1>0
当x>1时,g′(x)>0,当1>x≥0时,g′(x)<0,所以g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
g(x)min=g(1)=e-1,所以m≤e-1.

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