已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有成立的a的最小值;(3)当0<a<1时-高三

题目简介

已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有成立的a的最小值;(3)当0<a<1时-高三

题目详情

已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有成立的a的最小值;
(3)当0<a<1时,比较的大小,并说明理由
题型:解答题难度:偏难来源:高考真题

答案

解:(1)∵抛物线与x轴正半轴相交于点A,
∴A(
求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为

∵f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,
∴f(n)=an;
(2)由(1)知f(n)=an,则成立的充要条件是an≥2n3+1
即知,an≥2n3+1对所有n成立,特别的,取n=2得到a≥
当a=,n≥3时,an>4n=(1+3)n≥1+
=1+2n3+>2n3+1
当n=0,1,2时,
∴a=时,对所有n都有成立
∴a的最小值为
(3)由(1)知f(k)=ak,下面证明:
首先证明:当0<x<1时,
设函数g(x)=x(x2-x)+1,0<x<1,
则g′(x)=x(x-
当0<x<时,g′(x)<0;
时,g′(x)>0
故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g()=0
∴当0<x<1时,g(x)≥0,

由0<a<1知0<ak<1,因此
从而=
==

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