优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有成立的a的最小值;(3)当0<a<1时-高三
已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有成立的a的最小值;(3)当0<a<1时-高三
题目简介
已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有成立的a的最小值;(3)当0<a<1时-高三
题目详情
已知a为正实数,n为自然数,抛物线
与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有
成立的a的最小值;
(3)当0<a<1时,比较
与
的大小,并说明理由
题型:解答题
难度:偏难
来源:高考真题
答案
解:(1)∵抛物线
与x轴正半轴相交于点A,
∴A(
)
对
求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为
,
∴
∵f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,
∴f(n)=an;
(2)由(1)知f(n)=an,则
成立的充要条件是an≥2n3+1
即知,an≥2n3+1对所有n成立,特别的,取n=2得到a≥
当a=
,n≥3时,an>4n=(1+3)n≥1+
=1+2n3+
>2n3+1
当n=0,1,2时,
∴a=
时,对所有n都有
成立
∴a的最小值为
;
(3)由(1)知f(k)=ak,下面证明:
首先证明:当0<x<1时,
设函数g(x)=
x(x2-x)+1,0<x<1,
则g′(x)=
x(x-
)
当0<x<
时,g′(x)<0;
当
时,g′(x)>0
故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g(
)=0
∴当0<x<1时,g(x)≥0,
∴
由0<a<1知0<ak<1,因此
,
从而
=
≥
=
>
=
。
上一篇 :
求y=lnxx在点(1,0)处的切线方程__
下一篇 :
已知f(x)=ex+ax2-bx的图象在点(1,f
搜索答案
更多内容推荐
已知函数f(x)=lnx+x2+ax.(I)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数;(II)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.-数学
定义函数fn(x)=(1+x)n﹣1,x>﹣2,x∈N*.(1)求证:fn(x)≥nx;(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)﹣f2(x)在区间[a,0]上的值域为[ka,
已知函数f(x)=ex-mx的图象为曲线C,不存在与直线y=12x垂直的切线,则实数m的取值范围是______.-数学
曲线y=13x2在点R(8,14)的切线方程是()A.x+48y-20=0B.x+48y+20=0C.x-48y+20=0D.x-4y-20=0-数学
曲线f(x)=x3+x2f′(1)在点(2,m)处的切线斜率为______.-数学
已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)的直线方程为y=ax+16,与曲线y=f(x)相切,则实数a的值是()A.-3B.3C.6D.9-数学
已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.-数学
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,点P(1,f(1))在函数y=f(x)的图象上,过P点的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=﹣2时有极值,求f(x)的解析式;(2)在(1)的条
已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=f(x)+ax﹣6lnx,其中a∈R.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;(Ⅲ)设函数h(x)=x2﹣mx+4
曲线y=x3-4x在点(1,-3)处的切线方程为.-数学
与直线2x-y-4=0平行且与曲线y=5x相切的直线方程是______.-数学
函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.(1)求此平行线的距离;(2)若存在x使不等式x-mf(x)>x
求函数f(x)=13x3-9x+1(x∈R)的极值.-数学
设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)图象的一条对称轴是x=π8.(1)求φ的值;(2)证明:对任意实数c,直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.-数学
设函数设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数,g(x)=f(x)+f'(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与的大小关系;(3)是否存在x0>0,使
设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最
已知函数f(x)=(a,b∈R),若y=f(x)图象上的点(1,)处的切线斜率为﹣4,求y=f(x)在区间[﹣3,6]上的最值.-高三数学
函数f(x)=x+2cosx在区间上的最小值是[]A.B.2C.D.-高三数学
已知=(cos,sin),=(cos,﹣sin),且∈[0,].(1)若|+|=1,试求的值;(2)求的最值.-高三数学
已知函数,其中n∈N*,a为常数。(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1。-高三数学
已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表-高三数学
已知函数f(x)=x2﹣alnx在(1,2]是增函数,在(0,1)为减函数.(1)求f(x)、g(x)的表达式;(2)求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解;(3)当b>﹣1时,若在x∈
已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大
设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx﹣3(x>0),f(x),g(x)的导函数为f′(x),g′(x),且f′(0)=0,f′(﹣1)=﹣2,f(1)=g(1),f
已知函数f(x)=x2﹣cosx,x∈[﹣,]的值域是().-高三数学
点P在曲线y=x3-x+23上移动,在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是()A.[0,3π4]B.(π2,3π4)C.[0,π2)∪[3π4,π)D.[3π4,π)-数学
已知.(I)求函数f(x)的最小值;(II)当x>2a,证明:.-高三数学
求曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程______.-数学
甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产-高三数学
设函数,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为﹣2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间[﹣1,3]上是单调递减函数,求a2+b2的最
已知函数。(1)当时,求在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)如果在公共定义域D上的函数g(x),满足,那么就称g(x)为的“活动函数”,已知函数,若在区间上,函数是的“活动函数”-高三数学
已知函数。(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)当时,判断方程实根的个数。-高三数学
某乡镇所属A村、B村、C村位于一个边长为a公里的正三角形的三顶点上,乡镇在对外经济改革开放政策中已获得一外资项目,准备在位于∠BAC的角平分线上的选址E处(记∠EBD=θ),修建-高三数学
函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有()[]A.1个B.2个C.3个D.4个-高二数学
已知α,β是三次函数的两个极值点,且α∈(0,1),β∈(1,2),则的取值范围是[]A.B.C.D.-高三数学
某商场预计2012年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:p(x)=x(x+1)(41﹣2x)(x≤12且x∈N+)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式;(2
已知{an}是公差不为零的等差数列,如果sn是{an}的前n项的和,那么limn→∞nansn等于______.-数学
曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线方程是()A.2x-y-4=0B.x-2y+1=0C.x+2y-7=0D.2x+y-8=0-数学
如图,把边长为40cm的正方形铁皮的四角边去边长为xcm的四个相同的正方形,然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子,要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k(k>0),-高三数学
设函数f(x)=2x+lnx则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点-数学
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,-高三数学
函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f'(x)是减函数,且f′(x)>0。设x0∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线方程,并设函数g(x)
已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值。-高二数学
已知函数(a为实常数).(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.-高三数学
设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1ax+b(a>0)(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=32x,求a,b的值.-数学
已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(3)在(2)的条件下,证明:.-高三数学
曲线f(x)=12x2在点(1,12)处的切线方程为()A.2x+2y+1=0B.2x+2y-1=0C.2x-2y-1=0D.2x-2y-3=0-数学
函数f(x)=x3(x-1)的极值点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个-数学
若曲线y=x4+mx在x=-1处的切线方程为2x+y+3=0,则m等于()A.-1B.1C.-2D.2-数学
返回顶部
题目简介
已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有成立的a的最小值;(3)当0<a<1时-高三
题目详情
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有
(3)当0<a<1时,比较
答案
∴A(
对
∴抛物线在点A处的切线方程为
∴
∵f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,
∴f(n)=an;
(2)由(1)知f(n)=an,则
即知,an≥2n3+1对所有n成立,特别的,取n=2得到a≥
当a=
=1+2n3+
当n=0,1,2时,
∴a=
∴a的最小值为
(3)由(1)知f(k)=ak,下面证明:
首先证明:当0<x<1时,
设函数g(x)=
则g′(x)=
当0<x<
当
故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g(
∴当0<x<1时,g(x)≥0,
∴
由0<a<1知0<ak<1,因此
从而
=