已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a
已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
题目简介
已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a
题目详情
已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=![]()
，其中e是自然常数，a∈R．![]()
；
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增
∴f（x）的极小值为f（1）=1
（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，
∴f（x）＞0，f（x）min=1
令h（x）=g（x）+
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增
∴h（x）max=h（e）=
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+
（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=
①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=
所以，此时f（x）无最小值．
②当0＜
f（x）min=f（
③当
所以f（x）在（0，e]上单调递减，
f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=
所以，此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．