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> 已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标-数学
已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标-数学
题目简介
已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标-数学
题目详情
已知函数f(x)=
1
3
x
3
-2x
2
+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;
(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围;
(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:绵阳二模
答案
(1)f'(x)=x2-4x+3,则f′(x)=(x-2)2-1≥-1,
即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞);------------(4分)
(2)由(1)可知,
k≥-1
-
class="stub"1
k
≥-1
---------------------------------------------------------(6分)
解得-1≤k<0或k≥1,由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1
得:x∈(-∞,2-
2
]∪(1,3)∪[2+
2
,+∞);-------------------------------(9分)
(3)设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B(x2,y2),x1≠x2,
则切线方程是:y-(
class="stub"1
3
x
31
-2
x
21
+3x1)=(
x
21
-4x1+3)(x-x1),
化简得:y=(
x
21
-4x1+3)x+(-
class="stub"2
3
x
31
+2
x
21
),--------------------------(11分)
而过B(x2,y2)的切线方程是y=(
x
22
-4x1+3)x+(-
class="stub"2
3
x
32
+2
x
22
),--------------------------(,
由于两切线是同一直线,
则有:
x
21
-4x1+3=
x
22
-4x1+3,得x1+x2=4,----------------------(13分)
又由-
class="stub"2
3
x
31
+2
x
21
=-
class="stub"2
3
x
32
+2
x
22
,
即-
class="stub"2
3
(x1-x2)(
x
21
+x1x2+
x
22
)+(x1-x2)(x1+x2)=0
-
class="stub"1
3
(
x
21
+x1x2+
x
22
)+4=0,即x1(x1+x2)+
x
22
-12=0
即(4-x2)×4+
x
22
-12=0,
x
22
-4x2+4=0
得x2=2,但当x2=2时,由x1+x2=4得x1=2,这与x1≠x2矛盾.
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.----------------------------------(16分)
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