首页 > 设函数f(x)=lnx+ax-1在(0，1e)内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：f(x2)-f(x1)＞e+2-1e．-数学

设函数f(x)=lnx+ax-1在(0，1e)内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：f(x2)-f(x1)＞e+2-1e．-数学

题目简介

设函数f(x)=lnx+ax-1在(0，1e)内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：f(x2)-f(x1)＞e+2-1e．-数学

题目详情

设函数f(x)=lnx+
a
x-1
在(0，
1
e
)内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：f(x2)-f(x1)＞e+2-
1
e
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"a
(x-1)2
=
x2-(a+2)x+1
x(x-1)2

∵函数f(x)=lnx+class="stub"a
x-1
在(0，class="stub"1
e
)内有极值
∴f′（x）=0在(0，class="stub"1
e
)内有解，令g（x）=x2-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜class="stub"1
e
，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g(class="stub"1
e
)=class="stub"1
e2
-class="stub"a+2
e
+1＜0，
∴a＞e+class="stub"1
e
-2
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x1∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)=lnα+class="stub"a
α-1

由x2∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)=lnβ+class="stub"a
β-1

∴f（x2）-f（x1）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴f(β)-f(α )=2lnβ+a×class="stub"α-β
(β-1)(α-1)
=2lnβ+a×
class="stub"1
β
-β
2-(a+2)
=2lnβ+β -class="stub"1
β

记h(β)=2lnβ+β -class="stub"1
β
(β＞e)
则h′（β）=class="stub"2
β
+1+class="stub"1
β2
＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴h(β)＞h(e)=e+2-class="stub"1
e

∴f(x2)-f(x1)＞e+2-class="stub"1
e

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