首页 > 已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在

已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在

题目简介

已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在

题目详情

已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
π
4
．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成 立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f′（x）=3mx2-1，f′（1）=1，∴3m-1=1，∴m=class="stub"2
3
．
∴f（x）=class="stub"2
3
x3-x，f(1)=class="stub"2
3
-1=-class="stub"1
3
．
又点N（1，n）在曲线上，∴n=-class="stub"1
3
．…（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=2x2-1，x∈[-1，3]知，
当x∈(-1， -
2
2
)∪(
2
2
   ，3)时f′（x）＞0；
当x∈(-
2
2
，  
2
2
)时f′（x）＜0，
∴f(x)在[-1，-
2
2
]和[
2
2
，3]上递增，在[-
2
2
，
2
2
]上递减．…（8分）
∵f(-
2
2
)=
2
3
，f(3)=15，∴f（x）在[-1，3]上最大值为15．∴k-1992≥15，k≥2007．
故存在最小自然数2007．…（12分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网