已知函数f(x)=ln(ax+1)+,其中a>0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=ln(ax+1)+,其中a>0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=ln (ax+1)+,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:期末题

答案

解:(1)f(x)=ln (ax+1)+ =ln(ax+1)+ ﹣1,
求导函数可得f′(x)= 
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(1)=0,∴ =0
∴a=1;
(2)设f′(x)= >0,有ax2>2﹣a,
若a≥2,则f'(x)>0恒成立,f(x)在[0,+∞)上递增,
∴f(x)的最小值为f(0)=1;
若0<a<2,则x> ,f'(x)>0恒成立,
f(x)在( ,+∞)上递增,在(﹣∞, )上递减,
∴f(x)在x= 处取得最小值f( )<f(0)=1.
综上知,若f(x)最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).

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