已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（3）对

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已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（
﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

题型：解答题难度：偏难来源：期末题

答案

解：（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，f′（﹣1）=﹣3﹣2+b=b﹣5．
由（ b﹣5 ）（）=﹣1，可得b=0，
故 f（x）=﹣x3+x2+c．把点（﹣1，2）代入求得 c=0．
综上可得b=0，c=0．
（2）由以上可得，当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2）．
解f′（x）＞0得0＜x＜．解f′（x）＜0得1≥x＞或x＜0．
∴f（x）在（﹣1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递增，
从而f（x）在x= 处取得极大值为f（）= ．
又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．
当1≤x≤e时，f（x）=alnx，
当a≤0时，f（x）≤0．
当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．
（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），
则由题意可得点Q的横坐标为﹣m，且﹣m＜0．
当0＜m＜1时，点P（m，﹣m3+m2），点 Q（﹣m，m3+m2），
由K0P·KOQ=﹣1，可得（﹣m2+m）（﹣m2﹣m）=﹣1，m无解．
当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（﹣m，m3+m2），
由K0P·KOQ=﹣1，可得 ·（﹣m2﹣m）=﹣1，即 alnm= ．
由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程 alnm= ．
故曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
且此三角形斜边中点在y轴上．

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已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（3）对

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