已知数列{an}满足对任意的n∈N+,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设数列{1anan+2}的前n项和为Sn,不等式

题目简介

已知数列{an}满足对任意的n∈N+,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设数列{1anan+2}的前n项和为Sn,不等式

题目详情

已知数列{an}满足对任意的n∈N+,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)设数列{
1
anan+2
}的前n项和为Sn,不等式Sn
1
3
loga(1-a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2,①
则有a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2,②
②-①,得an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,
∵an>0,
an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,③
同样有an2=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④
③-④,得an+12-an2=an+1+an.
∴an+1-an=1,又a2-a1=1,即当n≥1时都有an+1-an=1,
∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴an=n.
(2)由(1)知an=n,则class="stub"1
anan+2
=class="stub"1
n(n+2)
=class="stub"1
2
class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
).
∴Sn=class="stub"1
a1a3
+class="stub"1
a2a4
+class="stub"1
a3a5
+…+class="stub"1
an-1an+1
+class="stub"1
anan+2

=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n+1
)+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)]
=class="stub"1
2
(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2

=class="stub"3
4
-class="stub"1
2
class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
).
∵Sn+1-Sn=class="stub"1
(n+1)(n+3)
>0,
∴数列{Sn}单调递增,
∴(Sn)min=S1=class="stub"1
3

要使不等式Sn>class="stub"1
3
loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要class="stub"1
3
class="stub"1
3
loga(1-a).
∵1-a>0,
∴0<a<1.
∴1-a>a,即0<a<class="stub"1
2

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