首页 > 设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（xn）=xn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求x2004的值；（Ⅱ）若an=4xn-4009，且bn=a2n+1+a2n2an+1

设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（xn）=xn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求x2004的值；（Ⅱ）若an=4xn-4009，且bn=a2n+1+a2n2an+1

题目简介

设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（xn）=xn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求x2004的值；（Ⅱ）若an=4xn-4009，且bn=a2n+1+a2n2an+1

题目详情

设f(x)=
x
a(x+2)
，x=f（x）有唯一解，f(x1)=
1
1003
，f（xn）=xn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x2004的值；
（Ⅱ）若an=
4
xn
-4009，且bn=
a2n+1
+
a2n
2an+1an
(n∈N*)，求证：b1+b2+…+bn-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N*有xn＜
m
2005
成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：重庆一模

答案

解（Ⅰ）由x=class="stub"x
a(x+2)
，可以化为ax（x+2）=x，
∴ax2+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）2=0得
当且仅当a=class="stub"1
2
时，x=f（x）有惟一解x=0，
从而f(x)=class="stub"2x
x+2
…（1分）
又由已知f（xn）=xn+1得：
2xn
xn+2
=xn+1，
∵class="stub"1
xn+1
=class="stub"1
2
+class="stub"1
xn
，
即class="stub"1
xn+1
-class="stub"1
xn
=class="stub"1
2
(n∈N*)
∴数列{class="stub"1
xn
}是首项为class="stub"1
x1
，公差为class="stub"1
2
的等差数列…（3分）
∴class="stub"1
xn
=class="stub"1
x1
+class="stub"n-1
2
=
2+(n-1)x1
2x1
，
∴xn=
2x1
(n-1)x1+2

又∵f(x1)=class="stub"1
1003
，
∴
2x1
x1+2
=class="stub"1
1003
，即x1=class="stub"2
2005
…（4分）
∵xn=
2×class="stub"2
2005
(n-1)•class="stub"2
2005
+2
=class="stub"2
n+2004
…（5分）
故x2004=class="stub"2
2004+2004
=class="stub"1
2004
…（6分）
（Ⅱ）证明：∵xn=class="stub"2
n+2004
，
∴an=class="stub"n+2004
2
×4-4009=2n-1…（7分）
∴bn=
a2n
+
a2n-1
2anan+1
=
(2n-1)2+(2n+1)2
2(2n-1)(2n+1)
=
4n2+1
4n2-1

=1+class="stub"2
(2n-1)(2n+1)
=1+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
…（8分）
∴b1+b2+…+bn-n=(1+1-class="stub"1
3
)+(1+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(1+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)-n
=1-class="stub"1
2n+1
＜1…（10分）
（Ⅲ）由于xn=class="stub"2
n+2004
，若class="stub"2
n+2004
＜class="stub"m
2005
(n∈N*)恒成立，
∵(class="stub"2
n+2004
)max=class="stub"2
2005
，
∴class="stub"m
2005
＞class="stub"2
2005
，
∴m＞2，而m为最小正整数，
∴m=3…（12分）

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