已知函数f(x)=x2+1ax+b是其定义域内的奇函数,且f(1)=2,(1)求f(x)的表达式;(2)设F(x)=xf(x)(x>0),求F(1)+F(2)+F(3)+…+F(2007)+F(12)

题目简介

已知函数f(x)=x2+1ax+b是其定义域内的奇函数,且f(1)=2,(1)求f(x)的表达式;(2)设F(x)=xf(x)(x>0),求F(1)+F(2)+F(3)+…+F(2007)+F(12)

题目详情

已知函数f(x)=
x2+1
ax+b
是其定义域内的奇函数,且f(1)=2,
(1)求 f(x)的表达式;
(2)设F(x)=
x
f(x)
( x>0 ),求F(1)+F(2)+F(3)+…+F(2007)+F(
1
2
)+F(
1
3
)+…+F(
1
2007
)
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=
x2+1
ax+b
是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
x2+1
-ax+b
=-
x2+1
ax+b
,∴b=0,
f(x)=
x2+1
ax

又∵f(1)=2,∴class="stub"2
a
=2
,∴a=1
f(x)=
x2+1
x


(2) 由(1)知F(x)=
x2
x2+1
(x>0)
F(class="stub"1
x
)=
(class="stub"1
x
)
2
(class="stub"1
x
)
2
+1
=class="stub"1
1+x2

F(x)+F(class="stub"1
x
)=1

F(1)+F(2)+F(3)++F(2007)+F(class="stub"1
2
)+F(class="stub"1
3
)++F(class="stub"1
2007
)

=F(1)+[F(2)+F(class="stub"1
2
)]+[F(3)+F(class="stub"1
3
)]++[F(2007)+F(class="stub"1
2007
)]

=class="stub"1
2
+2006×1

=class="stub"4013
2

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