已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求证f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．-数学

题目简介

已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c∴f（0）=c，又f（0）=8∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c

∴f(x+1)-f(x)

=[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)

=2ax+(a+b)

结合已知得：2ax+（a+b）=-2x+1，
∴

2a=-2

a+b=1

∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x2+2x+8
（Ⅱ）证明：设任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，

f(x1)-f(x2)

=(-x12+2x1+8)-(-x22+2x2+8)

=(x22-x12)+2(x 1-x2)

=(x2-x1)(x2+x1-2)

又由假设知x2-x1＞0，而x2＞x1≥1
∴x2+x1-2＞0∴（x2-x1）（x2+x1-2）＞0
即f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．