△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+2b2-c2=0,(1)求tanAcotC的值;(2)当A为何值时,tanB取最大值.-数学

题目简介

△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+2b2-c2=0,(1)求tanAcotC的值;(2)当A为何值时,tanB取最大值.-数学

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△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+2b2-c2=0,(1)求tanAcotC的值;(2)当A为何值时,tanB取最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由a2+2b2-c2=0,可得 c2=a2+2b2,故C为钝角.
利用同角三角函数的基本关系,以及正弦定理和余弦定理可得
 tanAcotC=class="stub"sinAcosC
cosAsinC
=
a•
a2+b2-c2
2ab
b2 +c2-a2
2bc
•c
=
a2 +b2 -c2
b2+c2-a2
=
-b2
3b2
=-class="stub"1
3

(2)由tanAcotC=-class="stub"1
3
,可得tanA=-class="stub"1
3
tanC,即 tanC=-3tanA.
又tanB=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-class="stub"tanA+tanC
1-tanAtanC
=-class="stub"-2tanA
1+ 3tan2A
=class="stub"2tanA
1+ 3tan2A
=class="stub"2
class="stub"1
tanA
+3tanA

由tanA>0 可得 class="stub"1
tanA
+3tanA
≥2
3
,当且仅当tanA=
3
3
时,等号成立.
class="stub"2
class="stub"1
tanA
+3tanA
的最大值等于class="stub"2
2
3
=
3
3
,故tanB 的最大值等于
3
3

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