已知偶函数f(x)=cosθsinx-sin(x-θ)+(tanθ-2)sinx-sinθ的最小值是0,求f(x)的最大值及此时x的集合.-数学

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已知偶函数f(x)=cosθsinx-sin(x-θ)+(tanθ-2)sinx-sinθ的最小值是0,求f(x)的最大值及此时x的集合.-数学

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已知偶函数f(x)=cosθsinx-sin(x-θ)+(tanθ-2)sinx-sinθ的最小值是0,求f(x)的最大值及此时x的集合.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=cosθsinx-(sinxcosθ-cosxsinθ)+(tanθ-2)sinx-sinθ
=sinθcosx+(tanθ-2)sinx-sinθ
因为f(x)是偶函数,所以对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),
即sinθcos(-x)+(tanθ-2)sin(-x)-sinθ=sinθcosx+(tanθ-2)sinx-sinθ,
即(tanθ-2)sinx=0,所以tanθ=2
sin2θ+cos2θ=1
class="stub"sinθ
cosθ
=2
解得
sinθ=
2
5
5
cosθ=
5
5
sinθ=-
2
5
5
cosθ=-
5
5
,此时,f(x)=sinθ(cosx-1).
当sinθ=
2
5
5
时,f(x)=
2
5
5
(cosx-1)最大值为0,不合题意最小值为0,舍去;
当sinθ=-
2
5
5
时,f(x)=-
2
5
5
(cosx-1)最小值为0,
当cosx=-1时,f(x)有最大值为
4
5
5
,自变量x的集合为{x|x=2kπ+π,k∈Z}.

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