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数列{an}的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求和S1•C0n+S2•C1n+S3•C2n+…+Sn+1•Cnn；（3）设有m项的数列{bn}是连续的正

题目简介

数列{an}的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求和S1•C0n+S2•C1n+S3•C2n+…+Sn+1•Cnn；（3）设有m项的数列{bn}是连续的正

题目详情

数列{an}的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求和S1•
C0n
+S2•
C1n
+S3•
C2n
+…+Sn+1•
Cnn
；
（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg(1+
1
b1
)+lg(1+
1
b2
)+…+lg(1+
1
bm
)=lg(log2am)．
问数列{bn}最多有几项？并求这些项的和．
题型：解答题难度：中档来源：虹口区一模

答案

（1）由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得an+1=2an+1-2an，即an+1=2an．
又S1=2a1-1，得a1=1≠0，
∴数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．…（5分）
（2）由（1）知Sn=2n-1，
∴S1•
C0n
+S2•
C1n
+S3•
C2n
+…+Sn+1•
Cnn

=（21-1）•
C0n
+（22-1）•
C1n
+（23-1）•
C2n
+…+（2n+1-1）•
Cnn

=2（
C0n
+2
C1n
+22
C2n
+…+2n
Cnn
）-（
C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
）
=2（1+2）n-2n
=2•3n-2n…（10分）
（3）由已知得2•
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bm+1
bm
=m-1．
又{bn}是连续的正整数数列，
∴bn=bn-1+1．
∴上式化为
2(bm+1)
b1
=m-1．
又bm=b1+（m-1），消bm得mb1-3b1-2m=0．
m=
3b1
b1-2
=3+class="stub"6
b1-2
，由于m∈N*，
∴b1＞2，
∴b1=3时，m的最大值为9．
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63…（16分）

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