首页 > 过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点P，使P点满足：AB=λAC，BP=λPC，(λ∈R)（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点P，使P点满足：AB=λAC，BP=λPC，(λ∈R)（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数

题目简介

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点P，使P点满足：AB=λAC，BP=λPC，(λ∈R)（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数

题目详情

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，
（理）在BC上取一点P，使P点满足：
AB
=λ
AC
，
BP
=λ
PC
，(λ∈R)
（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）（理）令P（x，y），因为
AB
=λ
AC
，
BP
=λ
PC
，(λ∈R)
所以xB=λxC，x-xB=λ（xC-x）
∴
x-xB
xC-x
=
xB
xC
，
∴x=
2xBxC
xB+xC
①
设过A所作的直线方程为y=kx+a，（显然k存在）
又由
y=kx+a
(x-2)2+y2=1
得（1+k2）x2+（2ak-4）x+a2+3=0
∴xB+xC=class="stub"4-2ak
1+k2
，xBxC=class="stub"2a+3k
2-ak

代入①，得x=
a2+3
2-ak
，
∴y=kx+a=class="stub"2a+3k
2-ak

消去k，得所求轨迹为2x-ay-3=0，（在圆M内部）
（文）令P（x，y），因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以  class="stub"2
x
=class="stub"1
xB
+class="stub"1
xc
⇒x=
2xBxc
xB+xc
（以下同理）
（2）上述轨迹过为定点（class="stub"3
2
，0）的直线在圆M内部分
，由
2x-ay-3=0
(x-2)2+y2=1
得（a2+4）y2-2ay-3=0
则|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=4
a2+3
(a2+4)2

∴S△MRS=class="stub"1
2
×class="stub"1
2
×4
a2+3
(a2+4)2
=
a2+3
(a2+4)2
=
class="stub"1
(a2+3)+class="stub"1
(a2+3)
+2

令t=a2+3，则t≥3，而函数f(t)=t+class="stub"1
t
在t≥3时递增，
∴S△MRS≤
class="stub"1
3+class="stub"1
3
+2
=
3
4
．
∴S△MRS|max=
3
4
，此时t=3，a=0，

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