从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1-数学

题目简介

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1-数学

题目详情

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:
(1)求长方体的容积V关于x的函数表达式;
(2)x取何值时,长方体的容积V有最大值?
题型:解答题难度:中档来源:钟祥市模拟

答案

(1)长方体的底面正方形的边长为2a-2x,高为x,所以,容积V=4(x-a)2x,
class="stub"x
2a-2x
≤t
,得 0<x≤class="stub"2ta
1+2t

(2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x)≤2(class="stub"a-x+a-x+2x
3
)3=
16a3
27

当a-x=2x,即x=class="stub"a
3
时等号成立.
①当class="stub"a
3
≤class="stub"2ta
1+2t
,即t≥class="stub"1
4
Vmax=
16a3
27

②当class="stub"a
3
>class="stub"2ta
1+2t
,即0<t<class="stub"1
4
时,V(x)=12(x-class="stub"2a
3
)2-
4a2
3

则V′(x)在(0,class="stub"a
3
)
上单调递减,
V(x)≥V(class="stub"2ta
1+2t
)>V(class="stub"a
3
)=0

∴V(x)在(0,class="stub"2ta
1+2t
]
单调递增,
V(x)max=V(class="stub"2ta
1+2t
)=
8ta3
(1+2t)3

总之,若0<t<class="stub"1
4
,则当x=class="stub"2ta
1+2t
时,Vmax=
8ta3
(1+2t)3

t≥class="stub"1
4
,则当x=class="stub"a
3
时,Vmax=
16a3
27

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