首页 > 已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|a-b|=2，求证：a⊥b；（2）设c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值．-数学

已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|a-b|=2，求证：a⊥b；（2）设c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值．-数学

题目简介

已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|a-b|=2，求证：a⊥b；（2）设c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值．-数学

题目详情

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|
a
-
b
|=
2
，求证：
a
⊥
b
；
（2）设
c
=（0，1），若
a
+
b
=
c
，求α，β的值．
题型：解答题难度：中档来源：江苏

答案

（1）由
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
则
a
-
b
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
由|
a
-
b
|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，
得cosαcosβ+sinαsinβ=0．
所以
a
•
b
=0．即
a
⊥
b
；
（2）由
a
+
b
=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)=(0，1)
得
cosα+cosβ=0①
sinα+sinβ=1②
，①2+②2得：cos(α-β)=-class="stub"1
2
．
因为0＜β＜α＜π，所以0＜α-β＜π．
所以α-β=class="stub"2
3
π，α=class="stub"2
3
π+β，
代入②得：sin(class="stub"2
3
π+β)+sinβ=
3
2
cosβ+class="stub"1
2
sinβ=sin(class="stub"π
3
+β)=1．
因为class="stub"π
3
＜class="stub"π
3
+β＜class="stub"4
3
π．所以class="stub"π
3
+β=class="stub"π
2
．
所以，α=class="stub"5
6
π，β=class="stub"π
6
．

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