首页 > 设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）

题目简介

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）

题目详情

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a1-h（x）-a2-2h（x）+a-h（x），（a＞0，且a≠1）在[
1
4
，4]的最大值为
5
4
，求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分12分）
（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=loga（x-3a）图象上
∴-y'=loga（x'+2a-3a），即y′=logaclass="stub"1
x′-a

∴g(x)=logaclass="stub"1
x-a

（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，class="stub"1
x-a
=class="stub"1
(a+2)-a
＞0．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-logaclass="stub"1
x-a
|=|loga(x2-4ax+3a2)|
∵|f（x）-g（x）|≤1∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，r（x）=x2-4ax+3a2对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x2-4ax+3a2在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]max=u（a+2）=loga（4-4a）．
[u（x）]min=u（a+3）=loga（9-6a），
又0＜a＜1，则
loga(9-6a)≥-1
loga(4-4a)≤1

∴0＜a≤
9-
57
12

（3）由（1）知g(x)=logaclass="stub"1
x-a
，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)=logaclass="stub"1
x
=-logax，
∴F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x)=2a1+logax-a2+2logax+alogax=2ax-a2x2+x，
即F（x）=-a2x2+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x=class="stub"2a+1
2a2
，又在[class="stub"1
4
，4]的最大值为class="stub"5
4
，
①令class="stub"2a+1
2a2
＜class="stub"1
4
⇒a2-4a-2＞0⇒a＜2-
6
(舍去)或a＞2+
6
；此时F（x）在[class="stub"1
4
，4]上递减，∴F（x）的最大值为F(class="stub"1
4
)=class="stub"5
4
⇒-class="stub"1
16
a2+class="stub"1
4
(2a+1)=class="stub"5
4
⇒a2-8a+16=0⇒a=4∉(2+
6
，+∞)，此时无解；
②令class="stub"2a+1
2a2
＞4⇒8a2-2a-1＜0⇒-class="stub"1
4
＜a＜class="stub"1
2
，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜class="stub"1
2
；此时F（x）在[class="stub"1
4
，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)=class="stub"5
4
⇒-16a2+8a+4=class="stub"5
4
⇒a=
1±4
2
4
，又0＜a＜class="stub"1
2
，∴无解；
③令class="stub"1
4
≤class="stub"2a+1
2a2
≤4⇒
a2-4a-2≤0
8a2-2a-1≥0
⇒
2-
6
≤a≤2+
6
a≤-class="stub"1
4
或a≥class="stub"1
2
且a＞0，且a≠1
∴class="stub"1
2
≤a≤2+
6
且a≠1，此时F（x）的最大值为F(class="stub"2a+1
2a2
)=class="stub"5
4
⇒-a2
(2a+1)2
4a4
+
(2a+1)2
2a2
=class="stub"5
4
⇒
(2a+1)2
4a2
=class="stub"5
4
⇒a2-4a-1=0，
解得：a=2±
5
，又class="stub"1
2
≤a≤2+
6
且a≠1，∴a=2+
5
；
综上，a的值为2+
5
．

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