已知定义在R上的奇函数f(x)=-2x+b2x+1+a.(1)求a、b的值;(2)若不等式-m2+(k+2)m-32<f(x)<m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;(3)

题目简介

已知定义在R上的奇函数f(x)=-2x+b2x+1+a.(1)求a、b的值;(2)若不等式-m2+(k+2)m-32<f(x)<m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;(3)

题目详情

已知定义在R上的奇函数f(x)=
-2x+b
2x+1+a

(1)求a、b的值;
(2)若不等式-m2+(k+2)m-
3
2
<f(x)<m2+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若函数g(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由于f(x)为R上的奇函数,故 f(0)=0,得 b=1…(1分)
则 f(x)=
1-2x
2x+1+a

由 f(-1)=-f(1)得
1-class="stub"1
2
1+a
=-class="stub"1-2
4+a
,解得 a=2
a=2
b=1
…(4分)
(2)由(1)f(x)=
1-2x
2x+1+2
=-class="stub"1
2
+class="stub"1
2x+1

由 2x+1>1知 0<class="stub"1
2x+1
<1

则 -class="stub"1
2
<f(x)<class="stub"1
2
…(6分)
要使-m2+(k+2)m-class="stub"3
2
<f(x)<m2+2km+k+class="stub"5
2
对一切实数x及m恒成立
则需且只需 
-m2+(k+2)m-class="stub"3
2
≤-class="stub"1
2
m2+2km+k+class="stub"5
2
≥class="stub"1
2
对 m∈R恒成立
即 
m2-(k+2)m+1≥0
m2+2km+k+2≥0
对 m∈R恒成立 …(8分)
只需 
1=(k+2)2-4≤0
2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0…(9分)
(3)当x∈(-1,1)时g(x)=f(x)-x=-class="stub"1
2
+class="stub"1
2x+1
-x

显然class="stub"1
2x+1
及-x均为减函数,故g(x)在(-1,1)上为减函数 …(11分)
由于g(0)=0,故在(-1,1)内g(x)=0有唯一根x=0
由于g(x)周期为2,由此有x∈(2k-1,2k+1)内有唯 一根x=2k(k∈N)(1)…(12分)
综合得x=2k(k∈N)为g(x)=0的根
又因为g(-1)=g(-1+2)=g(1)得-g(1)=g(1)
故g(1)=0,因此得g(2k+1)=0(k∈N)(2)…(13分)
综合(1)(2)有g(x)=0的所有解为一切整数 …(14分)

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