已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇函数,且f(2)=-53.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在(0,1)上的单调性.-数学

题目简介

已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇函数,且f(2)=-53.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在(0,1)上的单调性.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
px2+2
q-3x
是奇函数,且f(2)=-
5
3

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在(0,1)上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以对定义域内的任意x,都有∴f(-x)=-f(x),
px2+2
q+3x
=-
px2+2
q-3x
(2分)
整理得q+3x=-q+3x,所以q=0.又因为f(2)=-class="stub"5
3

所以f(2)=class="stub"4p+2
-6
=-class="stub"5
3
,解得p=2.
故所求解析式为f(x)=
2x2+2
-3x
.(6分)
(Ⅱ)由(1)得f(x)=
2x2+2
-3x
=-class="stub"2
3
(x+class="stub"1
x
)

设0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=class="stub"2
3
[(x2+class="stub"1
x2
)-(x1+class="stub"1
x1
)]═class="stub"2
3
(x1-x2
1-x1x2
x1x2
.(10分)
因为0<x1<x2<1,所以0<x1x2<1,x1-x2<0,1-x1x2>0,
从而得到f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在(0,1)上是增函数.(14分)

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