首页 > 定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2)=1．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）求f（x）；（3）求f（x）+cosx+f（x）

定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2)=1．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）求f（x）；（3）求f（x）+cosx+f（x）

题目简介

定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy②f(0)=0，f(π2)=1．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）求f（x）；（3）求f（x）+cosx+f（x）

题目详情

定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy  ②f(0)=0，f(
π
2
)=1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）求f（x）；
（3）求f（x）+cosx+f（x）•cosx的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．
（2）令y=class="stub"π
2
，
得f(x+class="stub"π
2
)+f(x-class="stub"π
2
)=2f(x)cosclass="stub"π
2
=0
令x=class="stub"π
2
，y=x，
得f(x+class="stub"π
2
)+f(class="stub"π
2
-x)=2f(class="stub"π
2
)cosx=2cosx
由（1），f（x）是奇函数，f(x-class="stub"π
2
)+f(class="stub"π
2
-x)=0
两式相加：2f(x+class="stub"π
2
)=2cosx∴f(x)=cos(class="stub"π
2
-x)=sinx
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值
设sinα+cosα=t=
2
sin(x+class="stub"π
4
)，则t∈[-
2
，
2
]，
且t2=（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα，即sinα•cosα=
t2-1
2
∴y=t+
t2-1
2
=class="stub"1
2
t2+t-class="stub"1
2
，t∈[-
2
，
2
]∴t=
2
时，ymax=
2
+class="stub"1
2

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