首页 > 已知向量a、b、c、d及实数x、y满足|a|=|b|=1，c=a+(x-3)b，d=-ya+xb，若a⊥b，c⊥d且|c|≤10．（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；（2）若x∈[1，

已知向量a、b、c、d及实数x、y满足|a|=|b|=1，c=a+(x-3)b，d=-ya+xb，若a⊥b，c⊥d且|c|≤10．（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；（2）若x∈[1，

题目简介

已知向量a、b、c、d及实数x、y满足|a|=|b|=1，c=a+(x-3)b，d=-ya+xb，若a⊥b，c⊥d且|c|≤10．（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；（2）若x∈[1，

题目详情

已知向量
a
、
b
、
c
、
d
及实数x、y满足|
a
|=|
b
|=1，
c
=
a
+(x-3)
b
，
d
=-y
a
+x
b
，若
a
⊥
b
，
c
⊥
d
且|
c
|≤
10
．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；
（2）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
⊥
b
，
∴
a
•
b
=0，
又|
a
|=|
b
|=1，
∴|
c
|2=
c
•
c
=[
a
+(x-3)
b
]2=1+（x-3）2，
∵|
c
|≤
10
，
∴1+（x-3）2≤10，解得0≤x≤6，
又∵
c
⊥
d
，∴
c
•
d
=0，
而
c
•
d
=[
a
+(x-3)
b
]•[-y
a
+x
b
]=-y+x（x-3），
∴-y+x（x-3）=0，
∴y=f（x）=x（x-3），其定义域为[0，6]．
（2）当1≤x≤2时，
欲使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x2-3x≥mx-16恒成立，
∴mx≤x2-3x+16，
即m≤x+class="stub"16
x
-3恒成立，
令g（x）=x+class="stub"16
x
，
g′(x)=1-class="stub"16
x2
，
当1≤x≤2时，g′（x）＜0，
∴g（x）=x+class="stub"16
x
是减函数，
∴[g（x）]min=g（2）=2+class="stub"16
2
=10，
∴m≤x+class="stub"16
x
-3≤10-3=7
∴m≤7．

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