首页 > 已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．（1）求b的值；（2）当x＞1时，求f（x）的反函数f-1（x）；（3）对于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-

已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．（1）求b的值；（2）当x＞1时，求f（x）的反函数f-1（x）；（3）对于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-

题目简介

已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．（1）求b的值；（2）当x＞1时，求f（x）的反函数f-1（x）；（3）对于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-

题目详情

已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．
（1）求b的值；
（2）当x＞1时，求f（x）的反函数f-1（x）；
（3）对于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-
x
)在[
1
4
，
1
2
]上恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3），
∴1-b+1=9+3b+1，∴b=-2．
（2）∵f（x）=x2-2x  +1=（x-1）2，图象关于x=1对称，
∴当x＞1时，x-1=
f(x)
，∴f（x）的反函数f-1（x）=
x
+1 （x≥0）．
（3）由题意知，
x
+1＞m（m-
x
）在[class="stub"1
4
，class="stub"1
2
]上恒成立，
即（m+1）
x
＞（m+1）（m-1） 在[class="stub"1
4
，class="stub"1
2
]上恒成立，
 ①当m＞-1时，有
x
＞m-1 在[class="stub"1
4
，class="stub"1
2
]上恒成立，
∴class="stub"1
2
＞m-1，即 m＜class="stub"3
2
，
∴-1＜m＜class="stub"3
2
，
②当m＜-1时，有
x
＜m-1 在[class="stub"1
4
，class="stub"1
2
]上恒成立，
∴
2
2
＜m-1，即 m＞1+
2
2
（舍去）
③m=-1时，不满足条件．
综上，实数m的取值范围是-1＜m＜class="stub"3
2
．

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