已知函数f(x)对一切x,y都有f(ab)=bf(a)+af(b)(1)求f(0);(2)求证:f(x)是奇函数;(3)若F(x)=af(x)+bx5+cx3+2x2+dx+3,已知F(-5)=7,求

题目简介

已知函数f(x)对一切x,y都有f(ab)=bf(a)+af(b)(1)求f(0);(2)求证:f(x)是奇函数;(3)若F(x)=af(x)+bx5+cx3+2x2+dx+3,已知F(-5)=7,求

题目详情

已知函数f(x)对一切x,y都有f(ab)=bf(a)+af(b)
(1)求f(0);
(2)求证:f(x)是奇函数;
(3)若F(x)=af(x)+bx5+cx3+2x2+dx+3,已知F(-5)=7,求F(5)
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令a=b=0⇒f(0)=0f(0)+0f(0)=0⇒f(0)=0
(2)证明:令a=b=1⇒f(1)=0,令a=b=-1⇒f(1)=-2f(-1)⇒f(-1)=0
令b=-1⇒f(-a)=-f(a)+af(-1)=-f(a)⇒f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数;
(3)∵f(x)是奇函数,
∴F(x)-3-2x2=af(x)+bx5+cx3+dx也为奇函数,
∴F(-5)-3-2×(-5)2=-[F(5)-3-2×52]又因为F(-5)=7,
∴F(5)=-F(-5)+106=99,
即:F(5)=99.

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