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设函数f(x)=sinx2+cosx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．-数学

题目简介

设函数f(x)=sinx2+cosx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．-数学

题目详情

设函数f(x)=
sinx
2+cosx
．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f′(x)=
(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)
(2+cosx)2
=class="stub"2cosx+1
(2+cosx)2
．（2分）
当2kπ-class="stub"2π
3
＜x＜2kπ+class="stub"2π
3
（k∈Z）时，cosx＞-class="stub"1
2
，即f'（x）＞0；
当2kπ+class="stub"2π
3
＜x＜2kπ+class="stub"4π
3
（k∈Z）时，cosx＜-class="stub"1
2
，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间(2kπ-class="stub"2π
3
，2kπ+class="stub"2π
3
)（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间(2kπ+class="stub"2π
3
，2kπ+class="stub"4π
3
)（k∈Z）是减函数．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），则g′(x)=a-class="stub"2cosx+1
(2+cosx)2
=a-class="stub"2
2+cosx
+class="stub"3
(2+cosx)2
=3(class="stub"1
2+cosx
-class="stub"1
3
)2+a-class="stub"1
3
．
故当a≥class="stub"1
3
时，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
当0＜a＜class="stub"1
3
时，令h（x）=sinx-3ax，则h'（x）=cosx-3a．
故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，f(x)=class="stub"sinx
2+cosx
＞class="stub"sinx
3
＞ax．
当a≤0时，有f(class="stub"π
2
)=class="stub"1
2
＞0≥a•class="stub"π
2
．
因此，a的取值范围是[class="stub"1
3
，+∞)．（12分）

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