已知函数f(x)=ax-1ax+1，其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．-数学

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已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

，其中a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意得f（x）的定义域为R，
且f(-x)=

a-x-1

a-x+1

1-ax

1+ax

ax-1

ax+1

=-f(x)，-------------（2分）
∴f（x）是奇函数．------------------------------------------------（4分）
证明：（2）设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=

ax1-1

ax1+1

ax2-1

ax2+1

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

．--------------------（6分）
当a＞1时，ax1-ax2＜0，得f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），
这时f（x）在R上是增函数；-------------------------------------------------------------（9分）
当0＜a＜1时，ax1-ax2＞0，得f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），
这时f（x）在R上是减函数．-----------------------------------------（12分）

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已知函数f(x)=ax-1ax+1，其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．-数学

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