设a是实数,f(x)=a-22x+1.(1)试确定a的值,使f(-x)+f(x)=0成立.(2)求证:不论a为何实数,f(x)均为增函数.-数学

题目简介

设a是实数,f(x)=a-22x+1.(1)试确定a的值,使f(-x)+f(x)=0成立.(2)求证:不论a为何实数,f(x)均为增函数.-数学

题目详情

设a是实数,f(x)=a-
2
2x+1

(1)试确定a的值,使f(-x)+f(x)=0成立.
(2)求证:不论a为何实数,f(x)均为增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题知,f(-x)+f(x)=2a-class="stub"2
2x+1
-class="stub"2
2-x+1
=0,
则有a=class="stub"1
2x+1
+class="stub"1
2-x+1
=
2x+2-x+2
2x+2-x+2
=1,
故a的值为1.          …(8分)
(或先说明f(x)为奇函数,再由f(0)=0求出a的值.)
证明:(2)由题知x∈R,在R任取两个值x1,x2(x1<x2),则
f(x1)-f(x2)=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

由x1<x2且y=2x为R上的增函数得2x1-2x2<02x1+1<0,2x2+1<0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故不论a为何实数,f(x)均为增函数.…(16分)

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