首页 > 已知△ABC中，满足AB2=AB•AC+BA•BC+CA•CB，a，b，c分别是△ABC的三边．（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a

已知△ABC中，满足AB2=AB•AC+BA•BC+CA•CB，a，b，c分别是△ABC的三边．（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a

题目简介

已知△ABC中，满足AB2=AB•AC+BA•BC+CA•CB，a，b，c分别是△ABC的三边．（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a

题目详情

已知△ABC中，满足
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，a，b，c分别是△ABC的三边．
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
=
AB
•（
AC
-
BC
）+
CA
•
CB
=
AB
2+
CA
•
CB
，
∴
CA
•
CB
=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+class="stub"π
4
)∈(1，
2
]．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
 
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=class="stub"1
c3sinAcosA
[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+class="stub"sinA+cosA+1
sinAcosA
．（8分）
令t=sinA+cosA(t∈(1，
2
])，则f(t)=t+class="stub"t+1
t2-1
2
=t-1+class="stub"2
t-1
+1，
∴当t=
2
时，f(t)min=3
2
+2，（11分） 故 k∈[ 3
2
+2 ，+∞)． （12分）

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