已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].(1)求f(x)的最小值;(2)关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].(1)求f(x)的最小值;(2)关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].
(1)求f(x)的最小值;
(2)关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x-2a(2x-2-x)+2a2=(2x-2-x)2-2a(2x-2-x)+2a2+2
令t=2x-2-x,则当x∈[-1,1]时,t关于x的函数是单调递增
t∈[-class="stub"3
2
,class="stub"3
2
]
,此时f(x)=t2-2at+2a2+2=(t-a)2+a2+2
a<-class="stub"3
2
时,f(x)min=f(-class="stub"3
2
)=2a2+3a+class="stub"17
4

-class="stub"3
2
≤a≤class="stub"3
2
时,f(x)min=a2+2
a>class="stub"3
2
时,f(x)min=f(class="stub"3
2
)=2a2-3a+class="stub"17
4

(2)方程f(x)=2a2有解,即方程t2-2at+2=0在[-class="stub"3
2
,class="stub"3
2
]
上有解,而t≠0
2a=t+class="stub"2
t
,可证明t+class="stub"2
t
(0,
2
)
上单调递减,(
2
,class="stub"3
2
)
上单调递增t+class="stub"2
t
≥2
2
t+class="stub"2
t
为奇函数,
∴当t∈(-class="stub"3
2
,0)
t+class="stub"2
t
≤-2
2

∴a的取值范围是(-∞,-
2
]∪[
2
,+∞)

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