首页 > 已知a＞1，f(logax)=aa2-1(x-1x)（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．-数学

已知a＞1，f(logax)=aa2-1(x-1x)（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．-数学

题目简介

已知a＞1，f(logax)=aa2-1(x-1x)（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．-数学

题目详情

已知a＞1，f(logax)=
a
a2-1
(x-
1
x
)
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令t=logax，则x=at，代入f(logax)=class="stub"a
a2-1
(x-class="stub"1
x
)，可得f(t)=class="stub"a
a2-1
(a2-a-2)
∴函数的解析式f(x)=class="stub"a
a2-1
(ax-a-x)；
（2）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
且f(-x)=class="stub"a
a2-1
(a-x-ax)=-class="stub"a
a2-1
(ax-a-x)=-f(x)，
∴f（x）为奇函数；
设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=class="stub"a
a2-1
(ax1-a-x1)-class="stub"a
a2-1
(ax2-a-x2)=class="stub"a
a2-1
(ax1-ax2)(1+class="stub"1
ax1+x2
)，
a＞1时，∵x1＜x2，∴class="stub"a
a2-1
＞0，ax1-ax2＜0，1+class="stub"1
ax1+x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）单调递增；
（3）若当x∈（-1，1）时，有1-m∈（-1，1）且1-m2∈（-1，1），
f（1-m）+f（1-m2）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-m2），
∵f（x）为奇函数，∴f（1-m）＜f（m2-1），又f（x）为增函数，∴1-m＜m2-1，
由
-1＜1-m＜1
-1＜1-m2＜1
m2+m-2＞0
解得，1＜m＜
2
，
故M={m|1＜m＜
2
}．

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