已知函数f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R

题目简介

已知函数f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞-2x-2-x恒成立，
因为-2x-2-x=-（2x+2-x）≤-2，当且仅当2x=2-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+class="stub"k-1

2x+class="stub"1

，
令t=2x+class="stub"1

+1≥3，则y=1+class="stub"k-1

(t≥3)，
当k＞1时，y∈(1，class="stub"k+2

]无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，y∈[class="stub"k+2

，1)，最小值为class="stub"k+2

=-2⇒k=-8，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．
当k＞1时，因2＜f(x1)+f(x2)≤class="stub"2k+4

且1＜f(x3)≤class="stub"k+2

，
故class="stub"k+2

≤2，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；
当k＜1时，class="stub"2k+4

≤f(x1)+f(x2)＜2且class="stub"k+2

≤f(x3)＜1，故1≤class="stub"2k+4

，解得-class="stub"1

≤k＜1；
综上所述，-class="stub"1

≤k≤4