已知函数f(x)=a-2ex+1在R上是奇函数.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)判断并证明f(x)在R上的单调性.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a-2ex+1在R上是奇函数.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)判断并证明f(x)在R上的单调性.-数学

题目详情

已知函数f(x)=a-
2
ex+1
在R上是奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断并证明f(x)在R上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(本小题满分13分)
(Ⅰ)∵f(x)=a-class="stub"2
ex+1
在R上是奇函数
∴f(0)=0,…(2分)
即a-class="stub"2
e0+1
=0
∴a=1,此时f(x)=1-class="stub"2
ex+1
…(4分)
经检验,当a=1时,f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数
∴a=1…(6分)
(Ⅱ)f(x)在R上是增函数,证明如下
∵f(x)=1-class="stub"2
ex+1

任取x1,x2∈R,,且x1<x2…(7分)
则f(x1)-f(x2)=
2(ex1-ex2)
(ex1+1)(ex2+1)
…(10分)
∵x1<x2
ex1ex2,(ex1+1)(ex2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上是增函数.…(13分)

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