首页 > 函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=19．（1）求证：f(x)f(1x)=1(x＞0)；（2）判断f（x）在（0，+∞）

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=19．（1）求证：f(x)f(1x)=1(x＞0)；（2）判断f（x）在（0，+∞）

题目简介

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=19．（1）求证：f(x)f(1x)=1(x＞0)；（2）判断f（x）在（0，+∞）

题目详情

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=
1
9
．
（1）求证：f(x)f(
1
x
)=1(x＞0)；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=class="stub"1
9
，
∴f（1）=1，…（2分）
令y=class="stub"1
x
，得f(x•class="stub"1
x
)=f(x)f(class="stub"1
x
)=f(1)=1；  …（4分）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
x2
x1
＞1，0＜f(
x2
x1
)＜1，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（
x2
x1
•x1）=f（x1）-f（
x2
x1
）f（x1）=f（x1）[1-f（
x2
x1
）]，…（7分）
而当x＞0时，f(x)=f(
x
•
x
)=[f(
x
)]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(class="stub"1
x
)=1，f（x）≠0，
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x1）＞0，1-f（
x2
x1
）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵f(2)=class="stub"1
9
，
∴f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
f(2)
=9，
又f(class="stub"1
2
)=f(
2
2
•
2
2
)=[f(
2
2
)]2，且f(
2
2
)＞0，
∴f（
2
2
）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=
2
2
…（16分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网