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> 已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-12x3(t为常数).(1)求函数f(x)的解析式;(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,
已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-12x3(t为常数).(1)求函数f(x)的解析式;(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,
题目简介
已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-12x3(t为常数).(1)求函数f(x)的解析式;(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,
题目详情
已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,
f(x)=tx-
1
2
x
3
(t为常数).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,及取得最小值时的x,并猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间(不必证明);
(3)当t≥9时,证明:函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),则
f(-x)=t(-x)-
class="stub"1
2
(-x
)
3
=-tx+
class="stub"1
2
x
3
,
∵函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,即f(-x)=-f(x),
∴
-f(x)=-tx+
class="stub"1
2
x
3
,即
f(x)=tx-
class="stub"1
2
x
3
,又可知f(0)=0,
∴函数f(x)的解析式为
f(x)=tx-
class="stub"1
2
x
3
,x∈[-2,2];
(2)
f(x)=x(t-
class="stub"1
2
x
2
)
,∵t∈[2,6],x∈[-2,0],∴
t-
class="stub"1
2
x
2
≥0
,f(x)<0
∵
[f(x)
]
2
=
x
2
(t-
class="stub"1
2
x
2
)
2
≤(
x
2
+t-
class="stub"1
2
x
2
+t-
class="stub"1
2
x
2
3
)
3
=
8
t
3
27
,∴
x
2
=t-
class="stub"1
2
x
2
,
即
x
2
=
class="stub"2t
3
,x=-
6t
3
(-
6t
3
∈[-2,0])
时,
f
min
=-
2
6
9
t
t
.
猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间为
[0,
6t
3
]
.
(3)t≥9时,任取-2≤x1<x2≤2,
∵
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)[t-
class="stub"1
2
(
x
1
2
+
x
1
x
2
+
x
2
2
)]<0
,
∴f(x)在[-2,2]上单调递增,即f(x)∈[f(-2),f(2)],
即f(x)∈[4-2t,2t-4],t≥9,∴4-2t≤-14,2t-4≥14,
∴14∈[4-2t,2t-4],∴当t≥9时,函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上.
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题目简介
已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-12x3(t为常数).(1)求函数f(x)的解析式;(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,
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(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,及取得最小值时的x,并猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间(不必证明);
(3)当t≥9时,证明:函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上.
答案
∵函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,即f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-tx+
∴函数f(x)的解析式为f(x)=tx-
(2)f(x)=x(t-
∵[f(x)]2=x2(t-
即x2=
猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间为[0,
(3)t≥9时,任取-2≤x1<x2≤2,
∵f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[t-
∴f(x)在[-2,2]上单调递增,即f(x)∈[f(-2),f(2)],
即f(x)∈[4-2t,2t-4],t≥9,∴4-2t≤-14,2t-4≥14,
∴14∈[4-2t,2t-4],∴当t≥9时,函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上.