已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R)(1)当a为何值时,函数f(x)为偶函数;(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R)(1)当a为何值时,函数f(x)为偶函数;(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x2+
a
x
(x≠0,a∈R)
(1)当a为何值时,函数f(x)为偶函数;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数;当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=
x21
+class="stub"a
x1
-
x22
-class="stub"a
x2
=
x1-x2
x1x2
[x1x2(x1+x2)-a]

由x2>x1≥2得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0
要使f(x)在区间[2,+∞)是增函数只需f(x1)-f(x2)<0,
即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,则a≤16.
另解(导数法):f′(x)=2x-class="stub"a
x2
,要使f(x)在区间[2,+∞)是增函数,只需当x≥2时,f'(x)≥0恒成立,即2x-class="stub"a
x2
≥0
,则a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,
故当a≤16时,f(x)在区间[2,+∞)是增函数.

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