首页 > 已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1x-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m

已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1x-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m

题目简介

已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1x-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m

题目详情

已知函数g(x)=
1
sinθ•x
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-
m-1
x
-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设h(x)=
2e
x
，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：开封二模

答案

（1）由题意，g′(x)=-class="stub"1
sinθ•x2
+class="stub"1
x
≥0在[1，+∞）上恒成立，即class="stub"sinθ•x-1
sinθ•x2
≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=class="stub"π
2
．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-class="stub"m
x
-2lnx．
∴(f(x)-g(x))′=
mx2-2x+m
x2
．
∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥class="stub"2x
1+x2
，
而class="stub"2x
x2+1
=class="stub"2
x+class="stub"1
x
，（class="stub"2
x+class="stub"1
x
）max=1，∴m≥1．mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即m≤class="stub"2x
1+x2

在[1，+∞）恒成立，而class="stub"2x
x2+1
∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-class="stub"m
x
-2lnx-class="stub"2e
x
．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-class="stub"m
x
≤0，-2lnx-class="stub"2e
x
＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立．
当m＞0时，(F(x))′=m+class="stub"m
x2
-class="stub"2
x
+class="stub"2e
x2
=
mx2-2x+m+2e
x2
．
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max=F(e)=me-class="stub"m
e
-4，只要me-class="stub"m
e
-4＞0，
解得m＞class="stub"4e
e2-1
．
故m的取值范围是(class="stub"4e
e2-1
，+∞)．

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