首页 > 定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．（1）证明：f（x）在R上是减函数；（2）若4f(m+14)≥3，求实数m的范围

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．（1）证明：f（x）在R上是减函数；（2）若4f(m+14)≥3，求实数m的范围

题目简介

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．（1）证明：f（x）在R上是减函数；（2）若4f(m+14)≥3，求实数m的范围

题目详情

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）证明：f（x）在R上是减函数；
（2）若4f(
m+1
4
)≥3，求实数m的范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：取y=1，则f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．设x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1-x2＞0，x1-x2+1＞1，
因为当x＞1时f（x）＜0，所以f（x1-x2+1）＜0．
f（x1）=f（x1+1）+1=f[x2+（x1-x2+1）]+1
=f（x2）+f（x1-x2+1）-1+1=f（x2）+f（x1-x2+1）．
因为f（x1-x2+1）＜0，所以f（x2）＜f（x1）．
所以函数f（x）在R上是减函数；
（2）取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由4f(class="stub"m+1
4
)≥3，得4f(class="stub"m+1
4
)=4f(class="stub"m
4
)-1≥3．
所以4f(class="stub"m
4
)≥4，f(class="stub"m
4
)≥1．
因为f（x）为实数集上的减函数，且f（0）=1
所以class="stub"m
4
≤0．
则m≤0．
所以实数m的范围是（-∞，0]．

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