已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性.-数学

题目简介

已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性.-数学

题目详情

已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=lgclass="stub"1+ax
1+2x
,x∈(-b,b)是奇函数,
等价于对于任意-b<x<b都有
f(-x)=-f(x)    (1)
class="stub"1+ax
1+2x
>0          (2)
成立,(1)
式即为 lgclass="stub"1-ax
1-2x
=-lgclass="stub"1+ax
1+2x
=lgclass="stub"1+2x
1+ax

class="stub"1-ax
1-2x
=class="stub"1+2x
1+ax
,即a2x2=4x2,
此式对于任意x∈(-b,b)都成立等价于a2=4,
因为a≠2,所以a=-2,所以f(x)=lgclass="stub"1-2x
1+2x

代入(2)式得:class="stub"1-2x
1+2x
>0

-class="stub"1
2
<x<class="stub"1
2
对于任意x∈(-b,b)都成立,
相当于-class="stub"1
2
≤-b<b≤class="stub"1
2
,从而b的取值范围为(0,class="stub"1
2
]

(2)对于任意x1,x2∈(-b,b),且x1<x2,由b∈(0,class="stub"1
2
]

-class="stub"1
2
≤-b<b≤class="stub"1
2
,所以0<1-2x2<1-2x1,0<1+2x1<1+2x2,
从而f(x2)-f(x1)=lg
1-2x2
1+2x2
-lg
1-2x1
1+2x1

=lg
(1-2x2)(1+2x1)
(1+2x2)(1-2x1)
<lg1=0

因此f(x)在(-b,b)是减函数;

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