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> 已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性.-数学
已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性.-数学
题目简介
已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性.-数学
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已知a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数
f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式及b的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
f(x)=lg
class="stub"1+ax
1+2x
,x∈(-b,b)是奇函数,
等价于对于任意-b<x<b都有
f(-x)=-f(x) (1)
class="stub"1+ax
1+2x
>0 (2)
成立,(1)
式即为
lg
class="stub"1-ax
1-2x
=-lg
class="stub"1+ax
1+2x
=lg
class="stub"1+2x
1+ax
.
∴
class="stub"1-ax
1-2x
=
class="stub"1+2x
1+ax
,即a2x2=4x2,
此式对于任意x∈(-b,b)都成立等价于a2=4,
因为a≠2,所以a=-2,所以
f(x)=lg
class="stub"1-2x
1+2x
;
代入(2)式得:
class="stub"1-2x
1+2x
>0
,
即
-
class="stub"1
2
<x<
class="stub"1
2
对于任意x∈(-b,b)都成立,
相当于
-
class="stub"1
2
≤-b<b≤
class="stub"1
2
,从而b的取值范围为
(0,
class="stub"1
2
]
;
(2)对于任意x1,x2∈(-b,b),且x1<x2,由
b∈(0,
class="stub"1
2
]
,
得
-
class="stub"1
2
≤-b<b≤
class="stub"1
2
,所以0<1-2x2<1-2x1,0<1+2x1<1+2x2,
从而f(x2)-f(x1)=
lg
1-2
x
2
1+2
x
2
-lg
1-2
x
1
1+2
x
1
=
lg
(1-2
x
2
)(1+2
x
1
)
(1+2
x
2
)(1-2
x
1
)
<lg1=0
,
因此f(x)在(-b,b)是减函数;
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∴
此式对于任意x∈(-b,b)都成立等价于a2=4,
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代入(2)式得:
即-
相当于-
(2)对于任意x1,x2∈(-b,b),且x1<x2,由b∈(0,
得-
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=lg
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