首页 > 过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．-数学

过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．-数学

题目简介

过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．-数学

题目详情

过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详

答案

由题意，△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+class="stub"1
sin2α
+class="stub"2
cos2α

令tan2α=t，则周长为y=3+class="stub"1
t
+2t+
t2+1
t
+ 2
t2+1

y/=-class="stub"1
t2
+2-class="stub"1
t2
t2+1
+class="stub"2t
t2+1

令y′=0，可得t=class="stub"3
4

∵函数在区间（0，class="stub"3
4
）上单调减，在（class="stub"3
4
，+∞）上单调增，
∴函数在t=class="stub"3
4
时，取得极小值，且为最小值．
∴当tan2α=class="stub"3
4
时，周长最小
∴class="stub"2 tanα
1-tan2α
=class="stub"3
4

∴tanα=class="stub"1
3

∴cotα=3
故答案为：3

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