已知0<x<π2,且t是大于0的常数,f(x)=1sinx+t1-sinx的最小值为9,则t=______.-数学

题目简介

已知0<x<π2,且t是大于0的常数,f(x)=1sinx+t1-sinx的最小值为9,则t=______.-数学

题目详情

已知0<x<
π
2
,且t是大于0的常数,f(x)=
1
sinx
+
t
1-sinx
的最小值为9,则t=______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由题,可令a=sinx,b=1-sinx,由0<x<class="stub"π
2
知,a,b∈(0,1)
此时有M=class="stub"1
a
+class="stub"t
b
的最小值为9,且a+b=1
所以M=(class="stub"1
a
+class="stub"t
b
)(a+b)=1+t+class="stub"b
a
+class="stub"at
b
≥1+t+2
t
=9等号当且仅当class="stub"b
a
=class="stub"at
b
①时成立,
解1+t+2
t
=9可得t=4,将t=4代入①可解得sinx=class="stub"1
3
,故所求t值符合题意
故答案为4

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