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试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有an+cn＞2bn．（n∈N）．-数学

题目简介

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有an+cn＞2bn．（n∈N）．-数学

题目详情

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有an+cn＞2bn．（n∈N）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明 （1）设a、b、c为等比数列，a=class="stub"b
q
，c=bq（q＞0且q≠1）
∴an+cn=
bn
qn
+bnqn=bn（class="stub"1
qn
+qn）＞2bn

（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想
an+cn
2
＞(class="stub"a+c
2
)n（n≥2且n∈N*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a2+c2）＞（a+c）2，∴
a2+c2
2
＞(class="stub"a+c
2
)2
②设n=k时成立，即
ak+ck
2
＞(class="stub"a+c
2
)k．
则当n=k+1时，
ak+1+ck+1
2
=class="stub"1
4
（ak+1+ck+1+ak+1+ck+1）＞class="stub"1
4
（ak+1+ck+1+ak•c+ck•a）=class="stub"1
4
（ak+ck）（a+c）
＞（class="stub"a+b
2
）k•（class="stub"a+b
2
）=（class="stub"a+b
2
）k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立

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