圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称,则1a+4b的取值范围是______.-数学

题目简介

圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称,则1a+4b的取值范围是______.-数学

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圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称,则
1
a
+
4
b
的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0对称,
∴直线2ax-by+2=0经过圆C1的圆心(-1,2),
∴-2a-2b+2=0,
∴a+b=1(a≠0,b≠0).
∴b=1-a,
class="stub"1
a
+class="stub"4
b
=class="stub"1
a
+class="stub"4
1-a
=class="stub"3a+1
a(1-a)
,令z=class="stub"3a+1
a(1-a)

则za2+(3-z)a+1=0.
当a=-class="stub"1
3
时,z=0,
当a≠-class="stub"1
3
时,za2+(3-z)a+1=0有解,
∴△=(3-z)2-4z=z2-10z+9≥0,
∴z≥9或z≤1.
class="stub"1
a
+class="stub"4
b
≥9或class="stub"1
a
+class="stub"4
b
≤1.
故答案为:(-∞,1]∪[9,+∞)

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